【题目】已知数列满足奇数项
成等差,公差为
,偶数项
成等比,公比为
,且数列
的前
项和为
,
,
.
若
,
.
①求数列的通项公式;
②若,求正整数
的值;
若
,
,对任意给定的
,是否存在实数
,使得
对任意
恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】①
,
;②
;
存在;
的取值范围为
.
【解析】
先由
,
,联立求得
,
;①先对
进行分类(正奇数与正偶数),分别求通项公式;②先对
进行分类(正奇数与正偶数),利用①求得的通项公式分别求满足题意的
,再综合;
分当
与
两种情况分别研究,求出
的取值范围.
解:①因为
,
,所以
,
,即
解得
,
.
当为奇数时,设
,则
当为偶数时,设
,则
综上,
.
②当为奇数时,
,即
,即
,当
时,不合题意;
当时,右边小于2,左边大于2,等式不成立;
当为偶数时,
,
,所以
.综上,
.
当
时,由于
,
各项,所以
,所以
符合题意;
当时,假设
对任意
恒成立,即
对任意
恒成立,
所以,令
,即
对任意
恒成立
先证:对任意
恒成立,
令,则
,
所以在
上递减,在
上递增,
所以,即
对任意
恒成立,所以
,
所以,所以当
时,
,
即,解得
,
所以当且
时,
这与
对任意
恒成立矛盾,所以当
时不合题意;
综上的取值范围为
.
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【题目】定义行列式的运算如下:,已函数
以下命题正确的是( )
①对,都有
;②若
,对
,总存在非零常数了,使得
;③若存在直线
与
的图象无公共点,且使
的图案位于直线两侧,此直线即称为函数
的分界线.则
的分界线的斜率的取值范围是
;④函数
的零点有无数个.
A.①③④B.①②④
C.②③D.①④
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【题目】“今年我已经8个月没有戏拍了”迪丽热巴在8月的一档综艺节目上说,霍建华在家里开玩笑时说到“我失业很久了”;明道也在参加《演员请就位》时透露,已经大半年没有演过戏.为了了解演员的生存现状,什么样的演员才有戏演,有人搜集了内地、港澳台共计9481名演员的演艺生涯资料,在统计的所有演员资料后得到以下结论:①有的人在2019年没有在影剧里露过脸;②2019年备案的电视剧数量较2016年时下滑超过三分之一;③女演员面临的竞争更加激烈;④演员的艰难程度随着年龄的增加而降低.请问:以下判断正确的是( )
A.调查采用了分层抽样B.调查采用了简单随机抽样
C.调查采用了系统抽样D.非抽样案例
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【题目】如图,已知平行四边形中,
,
,
为边
的中点,将
沿直线
翻折成
.若
为线段
的中点.
(1)证明平面
,并求
的长;
(2)在翻折过程中,当三棱锥的体积取最大时,求平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
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【题目】已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的
条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量
的值:
若这两条棱所在的直线相交,则的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);
若这两条棱所在的直线平行,则;
若这两条棱所在的直线异面,则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).
(1)求的值;
(2)求随机变量的分布列及数学期望
.
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【题目】如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PC⊥BC,点E是PC的中点,且平面PBC⊥平面ABCD.求证:
(1)求证:PA∥平面BDE;
(2)求证:平面PAC⊥平面BDE.
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【题目】某外卖平台为提高外卖配送效率,针对外卖配送业务提出了两种新的配送方案,为比较两种配送方案的效率,共选取50名外卖骑手,并将他们随机分成两组,每组25人,第一组骑手用甲配送方案,第二组骑手用乙配送方案.根据骑手在相同时间内完成配送订单的数量(单位:单)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图,求各组内25位骑手完成订单数的中位数,已知用甲配送方案的25位骑手完成订单数的平均数为52,结合中位数与平均数判断哪种配送方案的效率更高,并说明理由;
(2)设所有50名骑手在相同时间内完成订单数的平均数,将完成订单数超过
记为“优秀”,不超过
记为“一般”,然后将骑手的对应人数填入下面列联表;
优秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
(3)根据(2)中的列联表,判断能否有的把握认为两种配送方案的效率有差异.
附:,其中
.
0.05 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |
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