Question

【题目】定义行列式的运算如下：，已函数以下命题正确的是（ ）

①对，都有；②若，对，总存在非零常数了，使得；③若存在直线与的图象无公共点，且使的图案位于直线两侧，此直线即称为函数的分界线.则的分界线的斜率的取值范围是；④函数的零点有无数个.

A.①③④B.①②④

C.②③D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据行列式的运算定义可得，根据奇函数定义可判断分段函数为奇函数，所以①正确；根据的单调性和奇偶性可知不是周期函数，所以不是周期函数，所以②错误；利用导数求出函数的过原点的切线的斜率，再根据的图像的对称性可得界线斜率的取值范围应为，故③错误；根据在区间上单调递减，时，，且，可知有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确.

由题知,

当时,,所以 ，同理时亦有，所以①正确；

又时，，，，为奇函数，知的增区间为，，减区间为，，则不存在周期性，故不是周期函数，所以②错误；

当时，过原点作的切线，设切点为，则切线斜率，由此直线过原点得，所以，结合②中在区间上单调递增；在区间上单调递减，且时，，且，可得时，的分界线的斜率的取值范围是，又为奇函数，可得时，的分界线的斜率的取值范围是.所以分界线斜率的取值范围应为，故③错误；

由上可知，在区间上单调递减，时，，且，所以有无数个解，所以函数的零点有无数个，④正确.

故选：D.