Question

【题目】已知函数．

（1）求在处的切线方程：

（2）已知实数时，求证：函数的图象与直线：有3个交点．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）求出原函数的导函数，可得，再求出切点为（1，0），利用直线方程的点斜式可得函数的图象在处的切线方程；

（2）函数的图象与直线交点的个数等价于函数的零点个数，通过导数判断函数的单调性，求函数的最值同0进行比较，得到结果.

（1）因为，所以，

所以，

又因为，所以在处的切线方程；

（2）证明：当时，函数的图象与直线交点的个数等价于函数的零点个数，

因为，，

设，

因为二次函数在时，，，

所以存在，，使得，，

所以在单调递增，单调递减，单调递增．

因为，所以，，

因此在存在一个零点；

又因为当，，

所以在存在一个零点；

当时，，

所以在存在一个零点；

所以，函数的图象与直线：有3个交点．