Question

【题目】设函数（）.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）设，记，当时，若函数与函数有两个不同交点，，设线段的中点为，试问s是否为的根?说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）s不是的根，理由见解析

【解析】

(1)求解函数的导函数,分类讨论可得:①若时,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增; ②若时，函数单调递增; ③若时，当时,函数单调递减,当时,函数单调递增.

(2)构造新函数,求解导函数可得,欲证，故只需证明., 由于,是方程的两个不相等的实根,不妨设为,代入方程化简可得,故只需证明,化简为,构造 ，，通过求导可知在单调递增.又,因此即可证明不成立.

（1）由，可知.

因为函数的定义域为，所以，

①若时，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增；

②若时，当在内恒成立，函数单调递增；

③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.

（2）证明：由题可知（），

所以

所以当时，；当时，；当时，

欲证，故只需证明.

设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，

则

两式相减并整理得，

从而，

故只需证明（*）

即.所以（*）式可化为，即

因为，所以，不妨令，即证，成立.

记，，所以，当且仅当时，等号成立，

因此在单调递增.又，因此，，故，，即不成立.

故s不是的根得证.