Question

【题目】如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．

（Ⅰ）求证：PC⊥BC．
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又因为∠ACB=90°，即BC⊥AC．
∴BC⊥面PAC，∴PC⊥BC．
（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，所以MO∥PA，
又因为PA⊥面ABC，∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．
设AC=2，则BC=2 ，MO=1，OH= ，
在Rt△MHO中，tan∠MHO= ．
二面角M﹣AC﹣B的大小为300 ．

【解析】（Ⅰ）通过证明PA⊥BC，BC⊥AC．得到BC⊥面PAC即可（Ⅱ）取AB中点O，连结MO、过O作HO⊥AC于H，连结MH，因为M是PB的中点，∠MHO为二面角M﹣AC﹣B的平面角．在Rt△MHO中，球tan∠MHO即可．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．