Question

16．①若f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），f（sinθ）＞f（cosθ）．
②若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜$\frac{π}{2}$．
③函数f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，k∈Z$
④cos（x+$\frac{π}{6}$）≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集为{x|$\frac{5π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z}
其中真命题的个数有（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，依次分析所给的4个命题：对于①、结合函数的奇偶性与单调性的性质，分析可得f（x）在区间[0，1]上为减函数，又由θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），有sinθ＞cosθ，则有f（sinθ）＜f（cosθ）；故①错误；对于②、利用诱导公式分析可得sin（$\frac{π}{2}$-α）＞sinβ，又由正弦函数的性质，则有$\frac{π}{2}$-α＞β，即α+β＜$\frac{π}{2}$；故②正确；对于③、将f（x）的解析式变形可得f（x）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解可得f（x）的递增区间，可得③错误；对于④、结合余弦函数的性质分析可得④错误；综合可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析所给的4个命题：
对于①、f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，则f（x）在区间[0，1]上为减函数，
又由θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），有sinθ＞cosθ，则有f（sinθ）＜f（cosθ）；故①错误；
对于②、若锐角α、β满足cosα＞sinβ，即sin（$\frac{π}{2}$-α）＞sinβ，又由0＜$\frac{π}{2}$-α＜$\frac{π}{2}$、0＜β＜$\frac{π}{2}$，
则有$\frac{π}{2}$-α＞β，即α+β＜$\frac{π}{2}$；故②正确；
对于③、f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解可得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
其单调递增区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，故③错误；
对于④、若cos（x+$\frac{π}{6}$）≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则有2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，解可得2kπ-π≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即cos（x+$\frac{π}{6}$）≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集为{x|2kπ-π≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}；故④错误；
四个命题中，只有②是正确的；
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，涉及知识点较多，注意要熟悉常见的知识点的应用．