Question

1．已知函数f（x）=ax-$\frac{b}{x}-2lnx{，_{\;}}$f（1）=0
（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为0，且g（x）=$\frac{1}{{{{（1-x）}^n}}}+\frac{x-1}{2}-\frac{1}{2x-2}-\frac{1}{2}$f（x-1），（x≥2，n∈N^*）证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有g（x）≤x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=0，可得a=b，求出函数f（x）的导数，讨论a=0，a≠0，若函数f（x）在其定义域内单调递增，或递减，由参数分离，运用基本不等式求出最值，可得a的范围；
（Ⅱ）由导数的几何意义，可得a=1，化简f（x）和g（x），令$h（x）=g（x）-x=\frac{1}{{{{（{1-x}）}^n}}}+ln（{x-1}）-x$，求出导数，讨论n为奇数、偶数，运用单调性即可得证．

解答 解：（Ⅰ） 函数f（x）的定义域是（0，+∞），
由f（1）=0，所以有a=b，
所以$f（x）=ax-\frac{a}{x}-2lnx$，
${f^/}（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}-2x+a}}{x^2}$，
当a=0时，${f^/}（x）=-\frac{2}{x}＜0$恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减； 
当a≠0时，若函数f（x）在其定义域内单调递增，
则有f′（x）≥0恒成立，即$a≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}$，
因为x＞0，$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1，
所以a≥1，且a=1时f′（x）不恒为0．         
若函数f（x）在其定义域内单调递减，则有f′（x）≤0恒成立，
即$a≤\frac{2x}{{{x^2}+1}}$，
因为x＞0所以a≤0，
综上，函数f（x）在定义域内单调时，a的取值范围是a≤0或a≥1；
（Ⅱ）证明：因为函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为0，
所以f′（1）=0，即2a-2=0解得a=1，
所以$f（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，$g（x）=\frac{1}{{{{（{1-x}）}^n}}}+ln（{x-1}）$，
令$h（x）=g（x）-x=\frac{1}{{{{（{1-x}）}^n}}}+ln（{x-1}）-x$，
所以${h^/}（x）=n\frac{1}{{{{（{1-x}）}^{n+1}}}}+\frac{1}{x-1}-1$，
当n是偶数时，因为x≥2所以x-1≥1，
所以$n\frac{1}{{{{（{1-x}）}^{n+1}}}}＜0，0＜\frac{1}{x-1}＜1$，
所以h′（x）＜0即函数h（x）在[2，+∞）单调递减，
所以h（x）≤h（2）=-1，即g（x）≤x-1；
当n是奇数时，令T（x）=ln（x-1）-x，
则${T^/}（x）=\frac{1}{x-1}-1≤0$，
所以函数T（x）在[2，+∞）单调递减，
所以T（x）≤T（2）=-2，
又因为x≥2时1-x＜0，
所以（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，
所以h′（x）＜0，即函数h（x）在[2，+∞）单调递减，
所以h（x）≤h（2）=-1，即g（x）≤x-1．
综上，对任意的正整数n，当x≥2时，有g（x）≤x-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查的单调性的运用，不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．