Question

9．（1）设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：$\frac{a}{x}$+$\frac{c}{y}$=2；
（2）△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B＜$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由等差中项可得x=$\frac{a+b}{2}$且y=$\frac{b+c}{2}$，再由等比数列可得b²=ac，代入式子化简可得；
（2）反证法：假设B≥$\frac{π}{2}$，由题意和三角形的边角关系推出矛盾即可．

解答 证明：（1）∵非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，
∴x=$\frac{a+b}{2}$且y=$\frac{b+c}{2}$，
又∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
∴$\frac{a}{x}+\frac{c}{y}=\frac{2a}{a+b}+\frac{2c}{b+c}=\frac{2（ab+ac+ac+bc）}{{ab+ac+{b^2}+bc}}$
=$\frac{2（ab+ac+ac+bc）}{ab+ac+ac+bc}$=2；
（2）反证法：假设B≥$\frac{π}{2}$，则B＞A，B＞C，
∴b＞a，b＞c．∴$\frac{1}{b}＜\frac{1}{a}，\frac{1}{b}＜\frac{1}{c}$．
∴$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{b}$＜$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$即$\frac{2}{b}$＜$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$，
这与已知$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$即a，b，c的倒数成等差数列矛盾，
∴假设不成立，∴B＜$\frac{π}{2}$

点评 本题考查等差数列的通项公式，涉及反证法和三角形的边角关系，属中档题．