Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足

Sn

an-1

=

q

q-1

（g是常数，且（q＞0，q≠1）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当q=

1

4

时，试证明Sn＜

1

3

；
（Ⅲ）设函数．f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

3

对n∈N^*？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I ）由a_n=S_n-S_n-1=

q

q-1

(an-1)-

q

q-1

（a_n-1-1）知

an

an-1

=q，由S₁=a₁=

q

q-1

（a₁-1）得a₁=q，由此知a_n=q•q^n-1=qⁿ．
（II）由于a1+a2+…+an=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

，故可证明Sn＜

1

3

；
（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

2

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n

-

1

n+1

)所以 m≤6(1-

1

n+1

)由此能求出m的值．

解答：解：（I ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

q

q-1

(an-1)-

q

q-1

（a_n-1-1），∴

an

an-1

=q，又由S₁=a₁=

q

q-1

（a₁-1）得a₁=q，∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ
（II）a1+a2+…+an=

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

1

3

(1-

1

4n

)＜

1

3

（III）b_n=log_qa₁+log_qa₂+…+log_qa_n=log_q（a₁a₂…a_n）=logqq1+2+n=

n(n+1)

2

∴

1

b1

+

1

b2

++

1

bn

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n

-

1

n+1

)，∴2(1-

1

n+1

)≥

m

3

即m≤6(1-

1

n+1

)
∵n=1时，[6(1-

1

n+1

)]min=3，∴m≤3，∵m是正整数，∴m的值为1，2，3

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要注意等比数列性质的灵活运用．