Question

【题目】如图，正三棱柱的所有棱长都为是的中点，在边上，.

（1）证明:平面平面；

（2）若是侧面内的动点，且平面.

①在答题卡中作出点的轨迹，并说明轨迹的形状(不需要说明理由)；

②求二面角的余弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①取的中点，的中点，连接，则点的轨迹就是线段；②.

【解析】

（1）证出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证出面面垂直.

（2）①取的中点，的中点，连接，可得点的轨迹；②以、所在的直线为轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

（1）在正三棱柱中，因为平面，平面，

所以.

在等边中，是的中点，所以.

又,所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）①取的中点，的中点，连接，则点的轨迹就是线段.

②由图可知当点与点重合时，二面角的余弦值取到最大值.

以、所在的直线为轴、轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，，

设平面的一个法向量为.

由得

令，解得.

所以.

设平面的一个法向量为

由得令，解得.

所以.

因此.

故二面角的余弦值得最大值为.