Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在内为增函数，求实数的取值范围；

（2）若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围；

（3）已知，试估算的近似值，（结果精确到0.001）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）的近似值约为1.609

【解析】

（1）由题,先求导可得,由在内为增函数可得在上恒成立,即,设,利用导数判断的单调性,即可求得,进而得解；

（2）由题求导可得,分别讨论与情况下的单调性,进而由在内恰有两个零点,结合的单调性,求解的范围；

（3）由（1）可知当时,在内为增函数,则,即在内恒成立,再由（2）可知当时,在内为减函数,则,即在内恒成立,进而可得在内恒成立,在内找到关于与的数,即可令,则,进而代入中求解即可.

解:（1）由题,,

,

在内为增函数,

在上恒成立,即,

令,则,所以在内为增函数,

所以.

（2）由题,,

,

①当时,,则,在内为增函数,

,则当时,,

在内有且只有一个零点,不符合题意；

②当时,设,则,在内为减函数,

且,,

（i）当,时,,在内为增函数,

,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意；

（ii）当时,,,

,使得,则在内为增函数,在内为减函数,

则,则在内有且只有一个零点,当且仅当,

解得；

（iii）当,时,,在内为减函数,

,则当时,,在内有且只有一个零点,不符合题意,

综上所述,.

（3）由（1）可知,当时,在内为增函数,

所以,即在内恒成立,

由（2）可知,当时,在内为减函数,

所以,即在内恒成立,

综上,有,即在内恒成立,

令,则有,

可得,即,

则,

解得,

所以的近似值约为1.609.