Question

设0＜a＜1，函数f（x）=log_a

x-3

x+3

．
（1）求f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
（2）当f（x）定义域为[m，n）（m＜n）时，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]，求m、a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用真数大于0，可得f（x）的定义域，判断内、外函数的单调性，即可判断f（x）的单调性；
（2）充分利用函数与方程的思想，利用函数的单调性和最值将问题转化为方程在某区间上有解，从而得到参数a的范围．

解答： 解：（1）由

x-3

x+3

＞0，可得f（x）的定义域（-∞，-3）∪（3，+∞）；
∵y=

x-3

x+3

在（-∞，-3）、（3，+∞）上单调增，0＜a＜1，
∴f（x）=log_a

x-3

x+3

在（-∞，-3）、（3，+∞）上单调减；
（2）∵f（x）定义域为[m，n）（m＜n）时，值域为[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]，
∴f（m）=1+log_a（m-1）]，f（n）=1+log_a（n-1），
∵m＞1，∴m＞3．
∴m，n是方程f（x）=1+log_a（x-1）在区间（3，+∞）内的两个不相等的实根，
即m，n是关于x的方程ax²+（2a-1）x+3（1-a）=0在区间（3，+∞）内的两个不相等的实根，
∴

△＞0 - 2a-1 2a ＞3 9a+3(2a-1)+3(1-a)＞0

，∴0＜a＜

1

8

．
故实数a的取值范围是区间（0，

1

8

）．

点评：本题充分考查了对数函数的单调性、对数函数的值域与最值，考查转化的思想，属于中档题．