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如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.

(1)证明:MN∥平面A′ACC′;

(2)求三棱锥A′-MNC的体积.

(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)

 

【答案】

(1)见解析(2)

【解析】解:(1)(证法一)连结AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,

AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,

所以M为AB′中点,

又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′,

AC′⊂平面A′ACC′,

因此MN∥平面A′ACC′.

(证法二)取A′B′中点P,连结MP,NP,

M、N分别为AB′与B′C′的中点,

所以MP∥AA′,PN∥A′C′,

所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′,

又MP∩NP=P,

因此平面MPN∥平面A′ACC′,而MN⊂平面MPN.

因此MN∥平面A′ACC′.

(2)(解法一)连结BN,

由题意A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,

所以A′N⊥平面NBC.

又A′N=B′C′=1,故VA′-MNC=VN-A′MCVN-A′BCVA′-NBC.

(解法二)

VA′-MNC=VA′-NBC-VM-NBCVA′-NBC.

 

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