Question

9．已知抛物线y²=4x，点Q（a，0）是x轴上的一定点，过点Q作直线l与抛物线相交于A、B两点．
（Ⅰ）若a=-1，点F为抛物线的焦点，且|AF|=2|BF|，求直线l的方程；
（Ⅱ）若a＞0，试问在x轴上是否存在定点P，使得当直线l变动时，总有∠OPA=∠OPB（O为坐标原点）？若存在，求出点P的坐标，否则，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过A、B作准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，求出B的坐标，即可求直线l的方程．
（Ⅱ）将x=ty+a代入C得方程整理得y²-4ty-4a=0，当b=-a时，有k₁+k₂=0，则直线PA的倾斜角与直线PB的倾斜角互补，故∠OPA=∠OPB．

解答 解：（Ⅰ）过A、B作准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，
由|AF|=2|BF|可得|AA₁|=2|BB₁|，则点B为QA的中点，
连接OB，故2|OB|=|FA|．
∴|OB|=|FB|，B点的横坐标为$\frac{1}{2}$，代抛物线的方程中得B的纵坐标为±$\sqrt{2}$，
由$B（\frac{1}{2}，\;±\sqrt{2}）$和P（-1，0）知直线的方程为$y=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}（x+1）$
此时该直线与抛物线有两个交点，符合题意．-------------（6分）
（Ⅱ）存在符合题意的点P（-a，0），证明如下：
设直线l的方程为x=ty+a，
设P（b，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂．
将x=ty+a代入C得方程整理得y²-4ty-4a=0．
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4a．
∴${k_1}+{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}-b}}+\frac{y_2}{{{x_2}-b}}$=$\frac{{2t{y_1}{y_2}+（a-b）（{y_1}+{y_2}）}}{{（{x_1}-b）（{x_2}-b）}}$=$\frac{-4t（a+b）}{{（{x_1}-b）（{x_2}-b）}}$．
当b=-a时，有k₁+k₂=0，则直线PA的倾斜角与直线PB的倾斜角互补，
故∠OPA=∠OPB，所以P（-a，0）符合题意．-------------（12分）

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，着重考查曲线方程的联立，韦达定理的使用，突出考查化归思想与方程思想，属于难题．