Question

18．向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）⊥（$\overrightarrow{2a}$-$\overrightarrow b$），则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，展开后代入向量模，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角可求．

解答 解：由$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，得
$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}=0$，
∵$\left|{\overrightarrow a}\right|=1$，$\left|{\overrightarrow b}\right|=\sqrt{2}$，
∴$2+1×\sqrt{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-2=0$，即$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0$，
∴向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了利用向量数量积求向量的夹角公式，是中档题．