Question

8．已知边长为6的正三角形ABC，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，AD与BE交于点P，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的值为$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 由题意以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立坐标系，根据等边三角形的性质，得到点的坐标，根据三等分点坐标公式求出点E的坐标，再根据两点式，求出直线直线BE的方程，令x=0，得到P点的坐标，再根据向量的数量积即可求出答案．

解答 解：∵等边三角形ABC的边长为6，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∴以BC为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，
∴B（-3，0），C（3，0），A（0，3$\sqrt{3}$），D（0，0），
∴E（$\frac{2×0+3}{3}$，$\frac{2×3\sqrt{3}+0}{3}$）=（1，2$\sqrt{3}$），
∴直线BE的方程为$\frac{y-0}{2\sqrt{3}-0}$=$\frac{x+3}{1+3}$，即y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+3），
令x=0，得y=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴P（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（-3，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$=-3×0+（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{27}{4}$．
故答案为：$\frac{27}{4}$

点评 本题考查向量数量积的求法，以及三等分点坐标公式，直线方程的求法，关键是建立坐标系，是中档题．