Question

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别似乎a，b，c，且a=2，2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$．
（1）若b=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，求角B；
（2）求△ABC周长l的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得sinA=cosA-$\frac{1}{5}$，两边平方整理可得：25cos²A-5cosA-12=0，解得cosA，sinA的值，由正弦定理可得sinB的值，从而可求B的值．
（2）由（1）及正弦定理可得：$\frac{2}{\frac{3}{5}}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，从而由三角函数恒等变换的应用化简可求△ABC周长l=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sinC）=2+2$\sqrt{10}$sin（B+φ），其中，tanφ=$\frac{1}{3}$，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）∵2cos²$\frac{B+C}{2}$+sinA=$\frac{4}{5}$，可得：1+cos（B+C）+sinA=$\frac{4}{5}$，
∴sinA=cosA-$\frac{1}{5}$，两边平方整理可得：25cos²A-5cosA-12=0，解得：cosA=$\frac{4}{5}$或-$\frac{3}{5}$．
∴sinA=$\frac{3}{5}$，或-$\frac{4}{5}$（舍去），
∵a=2，b=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}×\frac{3}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（2）∵sinA=$\frac{3}{5}$，cosA=$\frac{4}{5}$，a=2，
∴利用正弦定理可得：$\frac{2}{\frac{3}{5}}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{10}{3}$，
∴△ABC周长l=a+b+c=2+b+c=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sinC）=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sin（B+A））
=2+$\frac{10}{3}$（sinB+sinBcosA+cosBsinA）
=2+$\frac{10}{3}$（sinB+$\frac{4}{5}$sinB+$\frac{3}{5}$cosB）
=2+$\frac{10}{3}$（$\frac{9}{5}$sinB+$\frac{3}{5}$cosB）
=2+2（3sinB+cosB）
=2+2$\sqrt{10}$sin（B+φ），其中，tanφ=$\frac{1}{3}$．
∴当sin（B+φ）=1时，可得△ABC周长l的最大值为：2+2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了倍角公式及三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．