Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x^2+4x，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-mx有且只有一个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [1，4]
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，4]
• D． （-∞，0]∪[1，4]

Answer 1

分析 若函数g（x）=f（x）-mx有且只有一个零点，则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，数形结合可得答案．

解答 解：若函数g（x）=f（x）-mx有且只有一个零点，
则函数f（x）与函数y=mx的图象只有一个交点，
在同在坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：

∵f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2x+4，x≤0\\ \frac{1}{x+1}，x＞0\end{array}\right.$，
故当m∈（-∞，0]∪[1，4]时，两个函数图象有且只有一个交点，
即函数g（x）=f（x）-mx有且只有一个零点，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，难度中档．