Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，解答下列问题：
（1）求证：在函数的定义域内任取x₁，x₂，当x₁+x₂=1时．都有f（x₁）+f（x₂）=1成立
（2）求f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁），利用指数函数性质、运算法则能证明当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=1．
（2）由当x₁+x₂=1时f（x₁）+f（x₂）=1，能求出f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）的值．

解答 证明：（1）∵f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴在函数的定义域内任取x₁，x₂，当x₁+x₂=1时，
f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（1-x₁）=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}$+$\frac{{4}^{1-{x}_{1}}}{{4}^{1-{x}_{1}}+2}$
=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}+\frac{{4}^{\;}}{{4+2•4}^{{x}_{1}}}$=$\frac{{4}^{{x}_{1}}}{{4}^{{x}_{1}}+2}$+$\frac{2}{{4}^{{x}_{1}}+2}$=1．
解：（2）由（1）得：
f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）
=5×1
=5．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．