Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2BC，AC=AA₁=BC
（1）点E为AB的中点，点D是CC₁的中点，求证DE∥面AB₁C₁
（2）求AA₁与面AB₁C₁所成的角．

Answer 1

解：（1）证明：取AC的中点F，则由三角形的中位线的性质可得 DF∥C₁A，EF∥BC，
由三棱柱的性质可得，EF∥B₁C₁． 而 C₁A 和B₁C₁ 在平面AB₁C₁内，DF 和EF不在平面AB₁C₁内，
∴DF∥平面AB₁C₁，EF∥平面AB₁C₁，∴平面DEF∥平面AB₁C₁，∴DE∥平面AB₁C₁．
（2）由题意可知，ACC₁A₁ 为正方形，∴AC₁⊥A₁C．又 AB²=BC²+AC²，∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥BC，∴BC⊥面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C，∴A₁C⊥面AB₁C₁，
∴AC₁ 为AA₁ 在面AB₁C₁ 上的摄影，∴∠A₁AC₁ 为所求．
在直角三角形A₁AC₁中，AA₁=A₁C₁，∴∠A₁AC₁=，
即 AA₁与面AB₁C₁所成的角为 ．
分析：（1）取AC的中点F，则由三角形的中位线的性质可得 DF∥C₁A，EF∥BC，通过证明平面DEF∥平面AB₁C₁，证得 DE∥平面AB₁C₁．
（2）由题意可知，ACC₁A₁ 为正方形，证明 A₁C⊥面AB₁C₁，可得AC₁ 为AA₁ 在面AB₁C₁ 上的摄影，故∠A₁AC₁ 为所求．在直角三角形A₁AC₁中，利用边角关系求得∠A₁AC₁=．
点评：本题考查证明线面平行、线面所成的角的定义，直线和平面平行的判定、性质的应用，找出直线和平面所成的角，是解题的关键．