Question

如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD．若双曲线C₁以A、B为焦点，且过C、D两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，则可表示出BC，EB，CD，进而可求得梯形的周长的表达式，根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值，则AC和BC可求，进而根据双曲线的定义求得双曲线的长轴，进而利用e=

c

a

求得答案．

解答：解：设∠BAC=θ，作CE⊥AB于点E，
则BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，有CD=2R-4Rsin²θ，
梯形的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²=-4R(sinθ-

1

2

)2+5R．
当sinθ=

1

2

，即θ=30°时，l有最大值5R，这时，BC=R，AC=

3

R，a=

1

2

(AC-BC)=

1

2

(

3

-1)R，e=

c

a

=

3

+1．
故答案为

3

+1

点评：本题主要考查了双曲线的应用，双曲线的定义．考查了学生分析问题和解决问题的能力．