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如图,以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD.若双曲线以A、B为焦点,且过C、D两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为(  )
分析:设∠BAC=θ,作CE⊥AB于点E,则可表示出BC,EB,CD,进而可求得梯形的周长的表达式,根据二次函数的性质求得周长的最大值时θ的值,则AC和BC可求,根据双曲线的定义求得双曲线的长轴,即可求得双曲线的离心率.
解答:解:设∠BAC=θ,作CE⊥AB于点E,则BC=2Rsinθ,EB=BCcos(90°-θ)=2Rsin2θ,
∴CD=2R-4Rsin2θ,
∴梯形的周长l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin2θ=-4R(sinθ-
1
2
2+5R.
当sinθ=
1
2
,即θ=30°时,l有最大值5R,
这时,BC=R,AC=
3
R,a=
1
2
(AC-BC)=
1
2
3
-1)R,
∴e=
c
a
=
3
+1.
故选D.
点评:本题主要考查了双曲线的应用,双曲线的定义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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选修4-1:几何证明选讲
如图,以AB为直径的⊙O上有一点C,过点C作⊙O的切线与AB延长线交于点P,AD⊥PC交PC的延长线于D,AD与⊙O相交于点E.
(1)求证:PB:PC=DC:AD;
(2)若AB=6,BC=3,求AE的长.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年贵州省五校联盟高三第四次联考理科数学试卷(解析版) 题型:选择题

如图,以AB为直径的圆有一内接梯形,且.若双曲线以A、B为焦点,且过C、D两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为(       ).

A.         B.     C.2        D.

 

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选修4-1:几何证明选讲
如图,以AB为直径的⊙O上有一点C,过点C作⊙O的切线与AB延长线交于点P,AD⊥PC交PC的延长线于D,AD与⊙O相交于点E.
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(2)若AB=6,BC=3,求AE的长.

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