Question

5．已知函数f（x）=（x+a）e^x+$\frac{1}{2}$x²，且f′（0）=0．
（1）求a；
（2）求f（x）的单调区间，并说明它在各区间的单调性；
（3）证明对任意x∈R，都有f（x）≥-1．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，进而根据f′（0）=0可得a值．
（2）根据（1）确定导函数的解析式，并分析各个区间上导函数的符号，进而得到函数在各个区间上的单调性；
（3）根据（3）可得当x=0时，函数f（x）取得最小值-1，进而得到结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=（x+a）e^x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=（x+a+1）e^x+x，
∴f′（0）=a+1=0，
解得：a=-1，
（2）由（1）得：f′（x）=x（e^x+1），
∵e^x+1＞1，
∴当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为减函数；
证明：（3）由（2）得，当x=0时，函数f（x）取得最小值-1，
故对任意x∈R，都有f（x）≥-1

点评 本题考查的知识点是导数法确定函数的单调性，导数法求函数的最值，难度中档．