Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每条棱长均为a，M为棱A₁C₁的中点
（Ⅰ）求证BC₁∥平面MB₁A；
（Ⅱ）求平面MB₁A与平面ABC所成的二面角的正切值；
（Ⅲ）求B-AMB₁的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接A₁B交AB₁于G点，连接MG，根据四边形ABB₁A₁为平行四边形得到A₁G=BG，又因A₁M=C₁M，则MG∥BC₁，又MG?平面AMB₁，BC₁?平面AMB₁
根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面AMB₁．
（Ⅱ）平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面MB₁A与平面ABC所成的二面角等于平面MB₁A与平面平面A₁B₁C₁所成的二面角．∠A₁MA为平面MB₁A与平面平面A₁B₁C₁，所成的二面角的平面角
（Ⅲ）转化V _B-AMB1=V _M-BAB1，利用体积公式计算．

解答：证明：（Ⅰ）连接A₁B交AB₁于G点，连接MG
∵四边形ABB₁A₁为平行四边形∴A₁G=MG 
又∵A_1M=C_1M∴MG∥BC₁
又∵MG?平面AMB₁BC₁?平面AMB₁
∴BC₁∥平面AMB₁
（Ⅱ）平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面MB₁A与平面ABC所成的二面角等于平面MB₁A与平面平面A₁B₁C₁所成的二面角．
面MB₁A∩面A₁B₁C₁=MB₁，
由已知，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，AA₁⊥MB₁，又A₁M⊥MB₁，∴∠A₁MA为平面MB₁A与平面平面A₁B₁C₁，所成的二面角的平面角．
在RT△A₁MA中，tan∠A₁MA=

AA1

A1M

=2
（Ⅲ）V _B-AMB1=V _M-BAB1，
S_△ABB1=

1

2

a2，M到面BAB₁的距离等于C₁到面BAB₁的距离的一般，h=

1

2

×

3

2

a=

3

4

a，
所以V _B-AMB1=V _M-BAB1=

1

3

×

1

2

a2×

3

4

a=

3 a3

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点评：本题考查空间直线和平面平行，空间角、体积的计算．考查空间想象、转化、推理论证能力．