Question

已知圆心为C的圆经过三个点O（0，0），A（-2，4），B（1，1）．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l的斜率为-

4

3

，且直线l被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设出圆的一般式方程，把三个点O（0，0），A（-2，4），B（1，1）的坐标代入，求得D、E、F的值，即可求得圆的方程．
（2）设l的直线方程为4x+3y+m，求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式求得m的值，即可得到直线l的方程．

解答：解：（1）设圆C的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，因为点O，A，B在所求的圆上，
故有

F=0 -2D+4E+F+20=0 D+E+F+2=0.

．…（4分）
解得

D=2 E=-4 F=0.

，故所求圆的方程是x²+y²+2x-4y=0． …（7分）
（2）由（1）可得圆C的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=5，
所以，圆C的圆心为（-1，2），半径为

5

，…（9分）
记圆心C到直线l的距离为d，则4=2

5-d2

，即d=1．  …（11分）
设l的直线方程为4x+3y+m=0，则d=

|-4+6+m|

42+32

=1，…（12分）
即|m+2|=5，所以m=-7或3，
所以l的直线方程为4x+3y+3=0，或4x+3y-7=0．     …（14分）

点评：本题主要考查用待定系数法求圆的方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．