Question

7．若关于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜4}，则关于x的不等式ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$}或{x|-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 （1）关于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜4}，可知：-$\frac{1}{2}$，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出a．再对a分类讨论利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）∵关于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜4}，
∴-$\frac{1}{2}$，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的两个实数根，
∴-$\frac{1}{2}$×4=$\frac{4}{a}$，解得a=-2．
不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）即为-2mx²+（m-2）x+1＞0，化为2mx²+（2-m）x-1＜0．
当m=0时，不等式化为2x-1＜0，解得x＜$\frac{1}{2}$；
当m＞0时，不等式化为（mx+1）（2x-1）＜0，解得-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$．
∴当m=0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{1}{2}$}；
当m＞0时，不等式的解集为{x|-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$}，
故答案为：{x|x＜$\frac{1}{2}$}或{x|-$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力．