Question

设a，b，c∈（-∞，0），则对于a+

1

b

，b+

1

c

，c+

1

a

，下列正确的是

 

①都不大于-2  
②都不小于-2  
③至少有一个不小于-2 
④至少有一个不大于-2．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,反证法

分析：因为a，b，c∈（-∞，0），所以a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

≤-6，再假设三个数都小于-2，则a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

＜-6，所以假设错误所以对立面成立，即至少有一个不小于-2．

解答： 解：因为a，b，c∈（-∞，0），所以a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

≤-6
假设三个数都小于-2
则a+

1

b

+b+

1

c

+c+

1

a

＜-6
所以假设错误
所以至少有一个不小于-2
故正确的序号为③，
故答案为：③．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，正难则反的思想，属于一道基础题．