Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且Sn=-n2+9n，n∈N+．
（1）求{a_n}的通项；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析：（1）①当n=1时，a₁=S₁=8，②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+10，检验可得a_n=-2n+10；（2）可知数列的前5项≤0，从第6项开始全为负值，分类讨论可得．

解答：解：（1）①当n=1时，a₁=S₁=8…（2分）
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1

=-n2+9n-[-(n-1)2+9(n-1)]

=-2n+10
检验：a₁适合a_n=-2n+10…（5分）
综合①②得：a_n=-2n+10…（6分）
（2）①当n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n=-n²+9n…（8分）
②当n≥6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|=（a₁+a₂+…+a₅）-（a₆+a₇+…+a_n）
=2（a₁+a₂+…+a₅）-（a₁+a₂+…+a_n）=n²-9n+40…（11分）
综合①②得：Tn=

-n2+9(n≤5) n2-9n+40(n≥6)

…（12分）

点评：本题考查数列的求和，以及由数列的前n项和求其通项，涉及分类讨论的思想，属中档题．