Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠PBA=45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

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AD．
（1）若E为PD的中点，求证：CE∥面PAB；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）EF⊥AD于F，则F为AD的中点，根据三角形中位线定理可得EF∥PA，根据线面平行的判定定理，我们可得CE∥面PAB；
（2）由已知中PA⊥平面ABCD，∠PBA=45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

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AD，由勾股定理可得AC⊥CD，PA⊥CD，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得到答案．

解答：证明：（1）∵E为PD的中点，作EF⊥AD于F，则F为AD的中点，且EF∥PA，
∴EF∥平面PAB，（2分）
∴CE∥面PAB（6分）
（2）设PA=1，由题意PA=BC=1，AD=2．（7分）
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，而∠PBA=45°，∴AB=1，能（9分）
又∠ABC=∠BAD=90°，易得CD=AC=

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．
由勾股定理逆定理得AC⊥CD．（10分）
又∵PA⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，（11分）
又CD?面PCD，∴面PAC⊥面PCD．（13分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，其中（1）的关键是证得EF∥PA，（2）的关键是证得CD⊥面PAC．