Question

a＞1，对任意的x∈[a，2a]都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=3，则a的集合（　　）

• A、[2，3]
• B、[2，+∞）
• C、（1.25，1.75）
• D、（1.75，2）

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：先由方程log_ax+log_ay=3解出y=

a3

x

，转化为函数的值域问题求解．

解答： 解：∵log_ax+log_ay=log_a（xy）=3，
故xy=a³，
即y=

a3

x

，
∵a＞1，故a³＞1，则y=f（x）=

a3

x

在区间[a，2a]单调递减；
∵故当x=a时，函数f（x）取最大值a²，当x=2a时，函数f（x）取最小值

1

2

a²，
若对任意的x∈[a，2a]都有y∈[a，a²]，
则

1

2

a²≥a，
解得：a≥2，或a≤0（舍去），
故a的取值范围为[2，+∞），
故选：B

点评：本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题，难度不大．注意函数和方程思想的应用．