Question

已知函数f（x）=x³-（4a-3）x²+4a（a-1）x?（a∈R）．
（I）当a=2时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大、最小值；
（II）若函数f（x）在区间（1，2）上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（I）当a=2时，f（x）=x³-5x²+8xf'（x）=3x²-10x+8
令f'（x）=0得3x²-10x+8=0，x₁=，x₂=2（2分）f（x）在[1，2]上变化如表

由上表知，f（x）在上单调递增，在上单调递减
∴
∵f（1）=f（2）=4
∴f（x）_min=4（6分）
（II）f'（x）=3x²-2（4a-3）x+4a（a-1）
若函数f（x）在（1，2）上不单调，则方程f'（x）=0在（1，2）上有实根，且无重根（8分）
由f'（x）=3x²-2（4a-3）x+4a（a-1）=0
解得
则或（10分）
解得（12分）
分析：（I）把a=2代入，对函数求导，分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解不等式可求解出函数的单调区间，进一步求函数的极值，然后比较极值与端点值，找出函数的最值
（II）函数f（x）在区间（1，2）上不单调?f'（x）=0在（1，2）上有实根，且无重根，结合二次函数在（1，2）上的图象求解
点评：本题考查了利用导数求最值，其步骤：①对函数求导②分别解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，写出函数的单调区间③结合单调区间求函数的极值④计算端点值，与极值比较，找出最值