Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）令，讨论的单调性.

（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.（ 为自然对数的底数， …）.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）

【解析】

（1）当时，先对函数求导，求得斜率，结合切点坐标，利用点斜式得到切线方程.（2）求出的表达式，对求得，然后将分成四类，讨论函数的单调区间.（3）将表达式代入原不等式并化简，构造函数设利用导数求得函数的最小值，令这个最小值大于零，求得的取值范围.

解：（1），，，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2），定义域为，

，

①当时，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；

②当时，当或时，，在，上单调递增；当时，，在单调递减；

③当时，在单调递增；

④当时，当或时，，在，上单调递增；当时，，在单调递减.

综上，当时，在单调递增，在单调递减；当时，在，上单调递增，在单调递减；当时，在单调递增；当时，在，上单调递增，在单调递减.

（3）当时，，即恒成立，

设，，

显然在上单调递增，且，所以当时，；当时，.即在上单调递减，在上单调递增. ，所以，

所以的取值范围为.