Question

【题目】已知梯形中，，，是的中点.，、分别是、上的动点，且，设（），沿将梯形翻折，使平面平面，如图.

（1）当时，求证：；

（2）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

（3）当取得最大值时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）如图所示：于，连接，证明，得到平面，得到证明.

（2）计算得到，根据二次函数性质得到答案.

（3）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算向量夹角得到答案.

（1）如图所示：于，连接，

平面平面，，故平面，平面，

故，易知为正方形，故，，

故平面，平面，故.

（2），

故.

（3）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则，即，

取，得到，故，

观察知二面角的平面角为钝角，故余弦值为.