Question

【题目】已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线与圆相交于两点，求的最小值及此时直线的方程；

（3）求曲线与的公共弦长.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）

【解析】

（1）设，，由为中点，列出关系式，求得，再代入化简即可；

（2）先确定直线过定点，得出当直线时，有最小值，求解即可；

（3）根据圆心间的距离得出两圆相交，联立两圆的方程得出公共弦所在的直线方程，再由直线与圆的关系求出弦长即可.

解：（1）设，

∵为中点，∴得，

∵点在圆上，∴

∴，化简得

∴点的轨迹的方程为

（2）由线可化为，所以直线过定点，在圆内，

当直线时，有最小值，

又，圆的半径为2，所以

此时，所以直线的斜率为，的方程为

（3）∵且，∴两圆相交

①

②

①－②得，即，即公共弦所在的直线方程为

圆心到直线的距离为，因为圆的半径为2，

所以公共弦长为，∴公共弦长为.