【题目】已知圆,点为圆上任意一点,点,线段的中点为,点的轨迹为曲线.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)直线与圆相交于两点,求的最小值及此时直线的方程;
(3)求曲线与的公共弦长.
【答案】(1);(2),;(3)
【解析】
(1)设,,由为中点,列出关系式,求得,再代入化简即可;
(2)先确定直线过定点,得出当直线时,有最小值,求解即可;
(3)根据圆心间的距离得出两圆相交,联立两圆的方程得出公共弦所在的直线方程,再由直线与圆的关系求出弦长即可.
解:(1)设,
∵为中点,∴得,
∵点在圆上,∴
∴,化简得
∴点的轨迹的方程为
(2)由线可化为,所以直线过定点,在圆内,
当直线时,有最小值,
又,圆的半径为2,所以
此时,所以直线的斜率为,的方程为
(3)∵且,∴两圆相交
①
②
①-②得,即,即公共弦所在的直线方程为
圆心到直线的距离为,因为圆的半径为2,
所以公共弦长为,∴公共弦长为.
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【题目】若函数的图象上存在关于直线对称的不同两点,则称具有性质.已知为常数,函数,,对于命题:①存在,使得具有性质;②存在,使得具有性质,下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题B.①和②均是假命题
C.①是真命题,②是假命题D.①是假命题,②是真命题
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【题目】已知梯形中,,,是的中点.,、分别是、上的动点,且,设(),沿将梯形翻折,使平面平面,如图.
(1)当时,求证:;
(2)若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角的余弦值.
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【题目】已知圆,直线, .
(1)求证:对,直线与圆总有两个不同的交点;
(2)求弦的中点的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线;
(3)是否存在实数,使得原上有四点到直线的距离为?若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
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【题目】(多选)下列命题中为真命题的是( )
A.若事件与事件互为对立事件,则事件与事件为互斥事件
B.若事件与事件为互斥事件,则事件与事件互为对立事件
C.若事件与事件互为对立事件,则事件为必然事件
D.若事件为必然事件,则事件与事件为互斥事件
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【题目】2012年,在“杂交水稻之父”袁隆平的实验田内种植了,两个品种的水稻,为了筛选出更优的品种,在,两个品种的实验田中分别抽取7块实验田,如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量(单位:),通过茎叶图比较两个品种的均值及方差,并从中挑选一个品种进行以后的推广,有如下结论:①品种水稻的平均产量高于品种水稻,推广品种水稻;②品种水稻的平均产量高于品种水稻,推广品种水稻;③品种水稻比品种水稻产量更稳定,推广品种水稻;④品种水稻比品种水稻产量更稳定,推广品种水稻;其中正确结论的编号为( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率利润保费收入)的频率分布直方图如图所示:
(1)试估计这款保险产品的收益率的平均值;
(2)设每份保单的保费在20元的基础上每增加元,对应的销量为(万份).从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据:
元 | 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量为(万份) | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表,知与有较强的线性相关关系,且据此计算出的回归方程为.
(ⅰ)求参数的值;
(ⅱ)若把回归方程当作与的线性关系,用(1)中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率,试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润,并求出最大利润.注:保险产品的保费收入每份保单的保费销量.
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【题目】某县位于沙漠地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1998年底全县的绿化率已达到30%。从1999年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的4%又被沙化。
(1)设全县面积为1,1998年底绿化总面积为,经过n年后绿化总面积为,求证:。
(2)至少需要多少年的努力,才能使全县的绿化率超过60%?(年取整数,lg2=0.3010)
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【题目】在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello),这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录(如图1).现测量一个屋顶,得到圆锥SO的底面直径AB长为12m,母线SA长为18m(如图2).C,D是母线SA的两个三等分点(点D靠近点A),E是母线SB的中点.
(1)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,求灯光带的最小长度;
(2)现对屋顶进行加固,在底面直径AB上某一点P,向点D和点E分别引直线型钢管PD和PE.试确定点P的位置,使得钢管总长度最小.
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