Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2a，cosB=$\frac{1}{4}$，b=2．
（1）求△ABC的面积；
（2）求cos（A-C）的值．

Answer 1

分析 （1）使用余弦定理求出a，c，代入面积公式S=$\frac{1}{2}$acsinB求出；
（2）由余弦定理求出cosA，cosC得出sinA，sinC，使用差角的余弦公式求出．

解答 解：（1）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，即$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-4}{4{a}^{2}}$，解得a=1．∴c=2．
∵cosB=$\frac{1}{4}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
（2）由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{7}{8}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{4}$，sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=$\frac{7}{8}×\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{8}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{11}{16}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，两角差的余弦公式，属于中档题．