Question

8．已知△ABC中，BC长为6，周长为16，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围是[7，16）．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，得出$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=10，两式平方相减，得出|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=32；再利用基本不等式和向量模长的意义得出|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|的取值范围，即可求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围．

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴${\overrightarrow{BC}}^{2}$=${\overrightarrow{AC}}^{2}$-2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
即|${\overrightarrow{AC}}^{2}$|-2|$\overrightarrow{AC}$|×|$\overrightarrow{AB}$|cosA+|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|=36①；
又∵|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AC}$|=10，
∴|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|+2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|+|${\overrightarrow{AC}}^{2}$|=100②；
①-②得，2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|（1+cosA）=64，
即|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=32③；
由|${\overrightarrow{AB}}^{2}$|+|${\overrightarrow{AC}}^{2}$|≥2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|，当且仅当|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|时“=”成立，
∴4|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|≤100，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|≤25，
又|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≤|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AB}$|＞16（$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$不共线，不取“=”），
∴7≤$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＜16；
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围是[7，16）．
故答案为：[7，16）．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角形的边角关系的应用问题和基本不等式的应用问题，是中档题目．