Question

16．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为单位向量，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为60°，若$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$（其中x＞0，y＞0），则|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{7}$，$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最大值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 对|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$|两边取平方计算，再开平方得到模长，用x，y来表示|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|，使用基本不等式求出（$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$）²的最大值，开方得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，∴（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=$\overrightarrow{{e}_{1}}$²-6$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$+9$\overrightarrow{{e}_{2}}$²=7．∴|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{7}$．
∵$\overrightarrow{a}$²=（x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=x²+y²+xy，$\overrightarrow{b}$²=（x$\overrightarrow{{e}_{1}}$-y$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=x²+y²-xy，∴（$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$）²=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+xy}{{x}^{2}+{y}^{2}-xy}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}-xy}$=1+$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1}$．
∵x＞0，y＞0，∴$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$≥2，∴1+$\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1}$≤1+$\frac{2}{2-1}$=3．∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最大值是$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{7}$，$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，模长公式，基本不等式的应用，属于中档题．