Question

6．若空间向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$与7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$垂直且$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$与7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，则＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=60°．

Answer 1

分析 根据所给的两个垂直关系，写出两组向量的数量积为0，整理式子，把两个向量的数量积和一个向量的模长用另一个向量的模长来表示，写出求夹角的式子，约分得到余弦值，进一步得到夹角．

解答 解：空间向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$与7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$垂直且$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$与7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$）=0，（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
∴7（$\overrightarrow{a}$）²-15（$\overrightarrow{b}$）²+16$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，①，7（$\overrightarrow{a}$）²+8（$\overrightarrow{b}$）²-30$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，②
∴-15（$\overrightarrow{b}$）²+16$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8（$\overrightarrow{b}$）²-30$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴（$\overrightarrow{b}$）²=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，③，
把③代入①得（$\overrightarrow{a}$）²=（$\overrightarrow{b}$）²，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，
∵两个向量的夹角属于[0°，180°]
∴两个向量的夹角等于60，
故答案为：60°

点评 本题考查向量夹角的计算，考查方程思想，要利用向量的数量积和模的意义进行合理的转换．