Question

5．已知面积为S的△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin（A+C）=2sinCcosA，3sinB=2sinA，S=2$\sqrt{2}$，则a=3．

Answer 1

分析 将sin（A+C）展开，化简得sin（A-C）=0，于是a=c．由正弦定理得3b=2a，由余弦定理求出cosB，得出sinB，代入面积公式得出a的值．

解答 解：∵sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA，∴sinAcosC-sinCcosA=0，即sin（A-C）=0，∴A=C，∴a=c．
∵3sinB=2sinA，∴3b=2a，即b=$\frac{2a}{3}$．∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-\frac{4{a}^{2}}{9}}{2{a}^{2}}$=$\frac{7}{9}$，∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$a²×$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=2$\sqrt{2}$，解得a=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．