Question

3．设x₁，x₂是实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，若x₁是虚数，$\frac{x_1^2}{x_2}$是实数，则S=1+$\frac{x_1}{x_2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^4}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^8}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{16}}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{32}}$=-2．

Answer 1

分析 设x₁=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x₂=s-ti．则x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．利用$\frac{x_1^2}{x_2}$是实数，可得3s²=t²．于是x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．$（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）^{2}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+1=0，取$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=ω，则ω²+ω+1=0，ω³=1．代入化简即可得出．

解答 解：设x₁=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x₂=s-ti．
则x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．
∵$\frac{x_1^2}{x_2}$=$\frac{（s+ti）^{2}}{s-ti}$=$\frac{{s}^{3}-3s{t}^{2}}{{s}^{2}+{t}^{2}}$+$\frac{3{s}^{2}t-{t}^{3}}{{s}^{2}+{t}^{2}}$i是实数，
∴3s²t-t³=0，
∴3s²=t²．
∴x₁+x₂=2s，x₁x₂=s²+t²．
∴4s²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$=${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$+2x₁x₂=x₁x₂，
∴$（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}）^{2}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+1=0，
取$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=ω，
则ω²+ω+1=0，
∴ω³=1．
则S=1+$\frac{x_1}{x_2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^2}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^4}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^8}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{16}}+{（{\frac{x_1}{x_2}}）^{32}}$=1+ω+ω²+ω⁴+ω⁸+ω¹⁶+ω³²
=0+ω+ω²+ω+ω²
=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了复数的运算法则、实系数一元二次方程虚根成对原理及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．