Question

8．对于函数f（x）=xcosx，现有下列命题：
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（$\frac{π}{2}$，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]上单调递增．
其中是真命题的为（　　）

• A． ②④
• B． ①④
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 由条件利用奇偶性，周期函数的定义，函数的图象的对称性，判断①④正确、②③错误，从而得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=xcosx，
∵它的定义域为R，f（-x）=-x•cos（-x）=-xcosx=-f（x），故函数f（x）为奇函数，故①正确．
∵f（0）=0，f（2π）=2π，f（0）≠f（2π），故②错误．
再根据f（$\frac{π}{2}$）=0，可得$\frac{π}{2}$是函数f（x）的图象的一个零点，
但（$\frac{π}{2}$，0）不是函数图象的对称中心，故③错误．
在[0，$\frac{π}{4}$]上，f′（x）=cosx-xsinx＞cosx-sinx≥0，
故函数 f（x）=xcosx在[0，$\frac{π}{4}$]上是增函数，故④正确．
结合所给的选项，
故选：B．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的判断，周期函数的定义，函数的图象的对称性，属于中档题．