Question

20．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，tanα=$\frac{4}{3}$
（1）求$\frac{si{n}^{2}α+sin2α}{co{s}^{2}α+cos2α}$的值；            
（2）求sin（$\frac{2π}{3}$-α）的值．

Answer 1

分析 （1）化简所求表达式为正切函数的形式，代入求解即可．
（2）利用同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦函数化简求解即可．

解答 解：0＜α＜$\frac{π}{2}$，tanα=$\frac{4}{3}$
（1）$\frac{si{n}^{2}α+sin2α}{co{s}^{2}α+cos2α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+2tanα}{2-ta{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{16}{9}+2×\frac{4}{3}}{2-\frac{16}{9}}$=20；            
（2）0＜α＜$\frac{π}{2}$，tanα=$\frac{4}{3}$，可得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
sin（$\frac{2π}{3}$-α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$α+\frac{1}{2}$sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，考查计算能力．