Question

6．四边形ABCD为菱形，ACFE为平行四边形，且平面ACFE⊥平面ABCD，设BD与AC相交于点G，H为FG的中点，AB=BD=2，AE=$\sqrt{3}$，CH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求证：CH⊥平面BDF；
（Ⅱ）若Q为△DEF的重心，求QH与平面BEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由△ABD为等边三角形可得CG=$\sqrt{3}$=CF，于是CH⊥FG，由面面垂直的性质得出BD⊥平面ACFE，故BD⊥CH，从而得出CH⊥平面BDF；
（II）以G为原点，以GA，GB为坐标轴建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{HQ}$和平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，则QH与平面BEF所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{HQ}$＞|．

解答 （Ⅰ）证明：∵ACFE为平行四边形，$AE=\sqrt{3}$，∴$CF=\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD为菱形，∴AG=CG，BG=DG，AD=AB，
∵AB=BD=2，∴△ABD是以2为边长的等边三角形，
∴$AG=CG=\sqrt{3}$，∴CG=CF，
∵H为FG的中点，∴CH⊥GF．
∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
∴BD⊥平面ACFE，∵CH?平面ACFE，
∴BD⊥CH，又∵BD∩GF=G，BD?平面BDF，GF?平面BDF，
∴CH⊥平面BDF．
（Ⅱ）在面ACFE中，作GM⊥AC交EF于M，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，∴GM⊥平面ABCD．
以G为原点，以GA，GB，GM为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则B（0，1，0），D（0，-1，0），G（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0）．
∵CH⊥FG，$CG=\sqrt{3}$，$CH=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴∠FGC=30°，HG=$\frac{3}{2}$．∴∠EAG=60°，
∴H（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），F（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{HF}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FE}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{FD}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-1，-$\frac{3}{2}$）．
∵Q是△DEF的重心，∴$\overrightarrow{FQ}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{FE}$）=（$\frac{7\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{HQ}$=$\overrightarrow{HF}$+$\overrightarrow{FQ}$=（$\frac{5\sqrt{3}}{12}$，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$）．
设面BEF的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x-y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，2）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HQ}$=-$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{HQ}$|=$\frac{5}{6}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{HQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HQ}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{HQ}|}$=-$\frac{{3\sqrt{13}}}{65}$．
∴QH与平面BEF所成角的正弦值为$\frac{{3\sqrt{13}}}{65}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．