Question

定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例如：1=

1

2

+

1

3

+

1

6

，1=

1

2

+

1

4

+

1

6

+

1

12

，1=

1

2

+

1

5

+

1

6

+

1

12

+

1

20

，…依此方法可得：1=

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

m

+

1

n

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

+

1

110

+

1

132

+

1

156

，其中m，n∈N^*，则m+n=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：根据1=

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

m

+

1

n

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

+

1

110

+

1

132

+

1

156

，结合裂项相消法，可得

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

33

260

，解得m，n值，可得答案．

解答： 解：∵1=

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

m

+

1

n

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

+

1

110

+

1

132

+

1

156

，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

m

+

1

n

+

1

30

+

1

42

+

1

56

+

1

72

+

1

90

+

1

110

+

1

132

+

1

156

=（1-

1

4

）+

1

m

+

1

n

+（

1

5

-

1

12

）+

1

156

，

1

m

+

1

n

=

m+n

mn

=

1

4

-

1

5

+

1

12

-

1

156

=

33

260

，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33

点评：本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．