Question

17．已知一元二次方程：x²+2ax-b²+4=0，
（1）若a是从{-1，0，1}中任取的一个数字，b是从{-3，-2，-1，0，1}中任取的一个数字，求该方程有根的概率．
（2）若a是从区间[-2，2]中任取的一个数字，b从是区间[-2，2]中任取的一个数字，求该方程有实根的概率．

Answer 1

分析 根据题意，由一元二次方程的性质，可得x²+ax+b²=0有实根的充要条件为a²+b²≥4；
（1）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{-1，0，1}，{-3，-2，-1，0，1}中任取的数字，易得一共可以得到15个不同方程，得满足a²+b²≥4的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案；
（2）由题意分析可得，这是几何概型，将a，b表示为平面区域，进而可得其中满足a²+b²≥4的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案

解答 解：根据题意，方程x²+2ax-b²+4=0，有实根则△≥0即a²+b²≥4；
（1）由题意，a，b是分别从{-1，0，1}，{-3，-2，-1，0，1}中任取的数字；
则a有3种取法，b有5种取法，共有5不同的情况，可以得到15个不同方程，
满足a²+b²≥4的有（-1，-3）（0，-3）（1，-3）（-1，-2）（0，-2）（1，-2）共有6种情况满足方程有实根，
∴p=$\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$；
（2）a是从区间[-2，2]中任取的一个数字，b从是区间[-2，2]中任取的一个数字，
由题意得：a，b满足的区域为边长是4 的正方形，面积为16，
使得方程有实根的，a，b满足a²+b²≥4，区域面积为4π，由几何概型的公式得到方程有实根的概率为$\frac{16-4π}{16}=1-\frac{π}{4}$．

点评 本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同