Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-1），B（0，1）平面内两点G、M同时满足①++=,②||=||=||③∥

(1)求顶点C的轨迹E的方程.

(2)设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（，0），已知∥，∥且·=0.

求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.

Answer 1

解：(1)设C（x,y），∵+=2,由①知=-2,∴G为△ABC的重心，

∴G（,）.

    由②知M是△ABC的外心，∴M在x轴上由③知M（,0）,由||=||得化简整理得：+y²=1(x≠0).

(2)F(,0)恰为+y²=1的右焦点设PQ的斜率为k≠0且k≠±,则直线PQ的方程为y=k(x-).

    由

(3k²+1)x²-6k²x+6k²-3=0.设P（x₁,y₁）,Q(x₂,y₂)则x₁+x₂=,x₁·x₂=.

    则|PQ|=·=·=.

∵PN⊥PQ,把k换成-得|RN|=.

∴S=|PQ|·|RN|==2-.∴3(k²+)+10=.∵k²+≥2,∴≥16，∴≤S＜2,(当k=±1时取等号)又当k不存在或k=0时，S=2.综上可得≤S≤2.

∴S_max=2,S_min=.