Question

19．已知命题p：“?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-ln x-a≥0”与命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（-∞，-4]∪[-2，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 解命题P是恒成立问题，利用变量分离，构造新函数，用最值法求解，命题q即为方程有解．

解答 解：∵?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-lnx-a≥0
∴a≤$\frac{1}{2}$x²-lnx，x∈[1，2]
令：f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，x∈[1，2]
则f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，∵f′（x）＞0
∴f（x）在[1，2]上增函数
∴f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
又命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命题，
∴△=4a²+32+24a≥0
∴a≥-2或a≤-4
又∵命题p：“?x∈[1，2]，$\frac{1}{2}$x²-lnx-a≥0”
与命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命题
∴实数a的取值范围 是：（-∞，-4]∪[-2，$\frac{1}{2}$]，
故答案为：（-∞，-4]∪[-2，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题通过常用逻辑用语来考查不等式怛成立问题和方程解的问题，难度空间很大，应熟练掌握．