Question

11．已知$A（cosα，\sqrt{3}sinα），B（2cosβ，\sqrt{3}sinβ），C（-1，0）$是平面上三个不同的点，且满足关系$\overrightarrow{CA}=λ\overrightarrow{BC}$，则实数λ的取值范围是[-2，1]，λ≠0．．

Answer 1

分析 利用向量共线定理可得：1+cosα=λ（-1-2cosβ），$\sqrt{3}$sinα=-λ$\sqrt{3}$sinβ，利用1=cos²α+sin²α，化为：λ=$\frac{4cosβ+2}{3co{s}^{2}β+4cosβ+2}$，令2cosβ+1=t∈[-1，3]，可得λ=$\frac{8t}{3{t}^{2}+2t+3}$=f（t），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{CA}=λ\overrightarrow{BC}$，∴$（cosα+1，\sqrt{3}sinα）$=λ$（-1-2cosβ，-\sqrt{3}sinβ）$，
∴1+cosα=λ（-1-2cosβ），$\sqrt{3}$sinα=-λ$\sqrt{3}$sinβ，
∴1=cos²α+sin²α=[λ（-1-2cosβ）-1]²+（-λsinβ）²，
化为：λ=$\frac{4cosβ+2}{3co{s}^{2}β+4cosβ+2}$，
令2cosβ+1=t∈[-1，3]．
则λ=$\frac{8t}{3{t}^{2}+2t+3}$=f（t），
f′（t）=$\frac{-24（t+1）（t-1）}{（3{t}^{2}+2t+3）^{2}}$，
可知：t=1时，函数f（t）取得最大值，f（1）=1．
又f（-1）=-2，f（3）=$\frac{2}{3}$．
∴λ∈[-2，1]，
由于t=0时，λ=0，点A与C重合，舍去．
∴λ∈[-2，1]，λ≠0．
故答案为：[-2，1]，λ≠0．

点评 本题考查了向量共线定理、平方共线、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．