Question

2．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72cm³，其底面两邻边长之比为1：2，则它的高为4cm时，可使表面积最小．

Answer 1

分析 设两边分别为x cm、2xcm，高为y cm．则V=2x²y=72，y=$\frac{72}{2{x}^{2}}$，从而S=2（2x²+2xy+xy）=4x²+$\frac{216}{x}$．由此利用导数性质能求出它的高为4cm时，可使表面积最小．

解答 解：设两边分别为x cm、2xcm，高为y cm．
V=2x²y=72，y=$\frac{72}{2{x}^{2}}$，
S=2（2x²+2xy+xy）
=4x²+6xy=4x²+$\frac{216}{x}$．
S′=8x-$\frac{216}{{x}^{2}}$，令S′=0，解得x=3．
∴y=$\frac{72}{2×9}$=4（cm）．
∴它的高为4cm时，可使表面积最小．
故答案为：4cm．

点评 本题考查长方体的高为多少时能使其表面积最小的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间思维能力，是中档题．