Question

10．已知x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≥0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$的常数项为（　　）

• A． 240
• B． -240
• C． 60
• D． 16

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．

解答 解：由约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≥0}\\{x≥0}\end{array}}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得A（2，2），
化目标函数z=x+2y为y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$，由图可知，当直线y=$-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．
∴${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$=$（x-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{6}$．
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{x}^{6-r}•（-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=$（-2）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-\frac{3}{2}r}$．
令6-$\frac{3}{2}r=0$，解得r=4．
∴${（x-\frac{2}{{\sqrt{x}}}）^n}$的常数项为$（-2）^{4}•{C}_{6}^{4}=240$．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查二项式定理的应用，是中档题．